כדור (גאומטריה)

Poll without page-refresh

Article on other languages:

כדור, או ליתר דיוק ספירה

כדור הוא גוף תלת ממדי המאופיין בתכונה שכל נקודה על פניו נמצאת במרחק שווה מהמרכז. במובן מסוים, כדור הוא הכללה של עיגול למרחב תלת-ממדי. באופן דומה אפשר להכליל את מושג ה"כדור" למרחב בעל n ממדים. בערך זה נתמקד בכדור הגאומטרי התלת ממדי.

משוואת הכדור

במרחב האוקלידי התלת ממדי, אלמנט מרחק ds נתון על ידי הנורמה הבאה:

$\!\, ds = \sqrt{ (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 }$

ולכן מהההגדרה הבאה של הכדור המקום הגאומטרי של כל הנקודות שנמצאות במרחק קבוע R מנקודה מסוימת "המרכז" נובע שהמשוואה המגדירה את הכדור היא

$\!\, x^2 + y^2 + z^2 = R^2$

כאשר x,y,z הם הקואורדינטות של מערכת צירים קרטזית ומרכז הכדור הוא ראשית הצירים. למרחק R קוראים הרדיוס ("מחוג") של הכדור.

ניתן להוכיח זאת על ידי ווקטור אלגברי במרחב, בדרך של מציאת האורך שלו והשוואתו לערך קבוע (הרדיוס).

$\!\, \vec{v}=(x,y,z)$

$\!\,\left|\vec{v}\right|=R$

$\!\,\left|\vec{v}\right|=\sqrt{\vec{v}^2}$

$\!\,R=\sqrt{\vec{v}^2}$

$\!\,R^2=\vec{v}^2$

$\!\,\vec{v}^2=x^2+y^2+z^2$

$\!\,R^2=x^2+y^2+z^2$

משוואת כדור במערכת צירים קרטזית שמרכזו $\!\,(x_0,y_0,z_0)$ הוא

$\!\, (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$

תכונות גאומטריות

שטח הפנים של כדור בעל רדיוס R הוא $A = 4 \pi R^2 \,$ .
הנפח של כדור בעל רדיוס R הוא $V = \frac{4 \pi R^3}{3}$ .

הכדור הינו הצורה שלה שטח פנים מינימלי לכל נפח מוגדר. לדוגמה, טיפת מים שבשל מתח הפנים שלה, רוצה להגיע למינימום שטח פנים, תשאף להיות בצורת כדור.

הכללה ל-n ממדים

ניתן להכליל את הכדור, או ליתר דיוק את הספירה (Sphere, פני הכדור) לממד כללי n (כאשר n מספר שלם חיובי). n-ספרה מסומנת בדרך כלל כ- Sⁿ והיא מוגדרת כאוסף הנקודות במרחב אוקלידי (n+1)-ממדי שנמצאים במרחק r מנקודה כלשהי במרחב (כמובן , r, הרדיוס, הוא מספר ממשי חיובי כלשהו).

בפרט:

0-ספירה היא זוג נקודות של קטע פתוח (−r, r) בישר הממשי.
1-ספירה היא מעגל ברדיוס r במישור.
2-ספירה היא הספרה הרגילה (פני כדור) במרחב האוקלידי התלת-ממדי.
3-ספירה היא ספרה המשוכנת במרחב ה-4 ממדי.

n-ספירות עם n > 2 נקראות בדרך כלל היפר-ספרה.

ה-n-ספירה עם רדיוס באורך יחידה הממורכזת סביב הראשית מסומנת ב-Sⁿ ומוגדרת על ידי

$\ S^n = \{ (x_1 , \cdots , x_n) | x_1^2 + \cdots + x_n^2 = 1 \}$ .

בדרך כלל כשאומרים "ה-n-ספירה" מתייחסים ל-n-ספרה זאת.

שטח הפנים של n-1 ספירה ברדיוס 1 הוא

$2 \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}$

כאשר $\ \Gamma(z)$ היא פונקציית גמא.

נוסחה מפורשת לשטח הפנים של n-1 ספירה:

$A = \begin{cases} \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^{n-1}}{2 \cdot 4 \cdots (n-2)} , & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\ \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1 \cdot 3 \cdots (n-2)} , & \text{if } n \text{ is odd}. \end{cases}$

ונפח הכדור התחום על ידי הספירה הוא שטח הפנים כפול ${r \over n}$ או במפורשות:

$V = \begin{cases} \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n} , & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\ \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n} , & \text{if } n \text{ is odd}. \end{cases}$

ראו גם

מקור: http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9B%D7%93%D7%95%D7%A8_(%D7%92%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%94)

קטגוריה: גאומטריה

This article is from Wikipedia. All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.